# Innlevering 11

## 19.5

* M = {1, 2, 3, 4, 5}

A) 2 * (4!) = 48
B) Det er $|M|^{|M|}$ = 5^5 = 3125 forskjellige funskjoner fra M til M. |M|! = 5! = 120 av dem er bijeksjoner.

## 20.10

A)
* G = \N
* a \bullet b = a + b
* $\langle$G, \bullet$\rangle$ blir ikke en gruppe, fordi:
	* Alle elementer har en invers; inverset til et positivt tall ville vært et negativt tall, men det er ikke en del av G.

B)
* G = \Z
* $\langle$G, \bullet$\rangle$ blir en gruppe, fordi:
	* \bullet er assosiativ.
	* Det finnes et identitetselement for \bullet; x + 0 = 0 + x = x.
	* Alle elementer har en invers; x + -x = -x + x = 0.

C)
* G = \Z
* a \bullet b = a * b
* $\langle$G, \bullet$\rangle$ blir en ikke gruppe, fordi:
	* Alle elementer har ikke en invers; x * -x \neq 0.

\pagebreak

D)
* G = \R
* a \bullet b = a + b
* $\langle$G, \bullet$\rangle$ blir en gruppe, fordi:
	* \bullet er assosiativ.
	* Det finnes et identitetselement for \bullet; x + 0 = 0 + x = x.
	* Alle elementer har en invers; x + -x = -x + x = 0.

E)
* G = \R \\ {0}
* a \bullet b = a * b
* $\langle$G, \bullet$\rangle$ blir ikke en gruppe, fordi:
	* Alle elementer har ikke en invers; x * -x \neq 0.

F)
* G = \R \\ {0}
* a \bullet b = a + b
* $\langle$G, \bullet$\rangle$ blir en gruppe, fordi:
	* Det finnes ikke et identitetselement; identitetselementet til + hadde vært 0, men det er ikke en del av G.