| 1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162 |
- # Innlevering 3
-
- ## 4.8
-
- D) ((P \to Q) \land \lnot Q) \to \lnot P
-
- | P | Q | (P \to Q) | \lnot Q | \lnot P | ((P \to Q) \land \lnot Q) \to \lnot P |
- |:-:|:-:|:---------:|:-------:|:-------:|:-------------------------------------:|
- | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | (1 \land 0) \to 0: 0 \to 0: 1 |
- | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | (0 \land 1) \to 0: 0 \to 0: 1 |
- | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | (1 \land 0) \to 1: 0 \to 1: 1 |
- | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | (1 \land 1) \to 1: 1 \to 1: 1 |
-
- (((P \to Q) \land \lnot Q) \to \lnot P) er en tautologi; for alle kombinasjoner av variablene blir formelen 1.
-
- E) \lnot (P \lor Q) \land (\lnot Q \lor R) \land (\lnot R \lor P)
-
- | P | Q | R | \lnot (P \lor Q) | (\lnot Q \lor R) | (\lnot R \lor P) | \lnot (P \lor Q) \land (\lnot Q \lor R) \land (\lnot R \lor P) |
- |:-:|:-:|:-:|:----------------:|:----------------:|:----------------:|:--------------------------------------------------------------:|
- | 1 | 1 | 1 | 0 | - | - | 0 |
- | 1 | 1 | 0 | 0 | - | - | 0 |
- | 1 | 0 | 1 | 0 | - | - | 0 |
- | 1 | 0 | 0 | 0 | - | - | 0 |
- | 0 | 1 | 1 | 0 | - | - | 0 |
- | 0 | 1 | 0 | 0 | - | - | 0 |
- | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
- | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
-
- (\lnot (P \lor Q) \land (\lnot Q \lor R) \land (\lnot R \lor P)) er hverken en tautologi eller en kontradiksjon, siden det finnes både variabelkombinasjoner hvor den er sann og kombinasjoner hvor den er usann.
-
- \pagebreak
-
- F) (\lnot (P \lor Q)) \land P
-
- | P | Q | R | \lnot (P \lor Q) | (\lnot (P \lor Q)) \land P |
- |:-:|:-:|:-:|:----------------:|:--------------------------:|
- | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 \land 1: 0 |
- | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 \land 1: 0 |
- | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 \land 1: 0 |
- | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 \land 1: 0 |
- | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 \land 0: 0 |
- | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 \land 0: 0 |
- | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 \land 0: 0 |
- | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 \land 0: 0 |
-
- ((\lnot (P \lor Q)) \land P) er en kontradiksjon, siden det ikke finnes noen kombinasjon av variablene som gjør den sann.
-
- ## 5.5
-
- * Påstand: Hvis (P \to Q) og (Q \to R) er sanne, så er (P \to R) sann
-
- A) Direkte bevis:
-
- Vi vet at det eneste tilfellet hvor (P \to R) er usann er hvis P er sann og R er usann. Derfor må vi bevise at hvis P er sann, er R sann.
-
- Når (P \to Q) er sann, og P er sann, må Q være sann. Når (Q \to R) er sann, og Q er sann, må R være sann. Da vet vi at når P er sann, og (P \to Q) er sann, og (Q \to R) er sann, må R være sann. Siden det eneste tilfellet hvor (P \to R) er usann er at P er sann og R er usann, vet vi at (P \to R) er sann hvis (P \to Q) og (Q \to R) er sanne.
-
- C) Motsigelsesbevis:
-
- Anta at P er sann og R er usann, den eneste kombinasjonen som gjør (P \to R) usann. Da vet vi at Q er usann (den eneste måten (Q \to R) er kan være sann hvis R er usann), som betyr at P er usann (den eneste måten (P \to Q) kan være sann hvis Q er usann). Dette motsier antagelsen om at P er sann.
-
- Contradiction!
|
